Operacionalización de variables y hoja para la captura de datos

Cálculo de probabilidades de eventos sencillos

Basado en el libro de William Mendenhall

La probabilidad de un evento A es una medida de nuestra creencia de que el evento A ocurrirá. Una manera práctica de interpretar esta medida es con el concepto de frecuencia relativa. Recuerda que si un experimento se realiza n veces, entonces la frecuencia relativa de un suceso particular, por ejemplo A, es

donde la frecuencia es el número de veces que ocurrió el evento A. Si hacemos que el número n de repeticiones del experimento se haga cada vez más grande

en última instancia se genera toda la población. En ésta, la frecuencia relativa del evento A se define como la probabilidad del evento A; esto es,


Como Pr(A) se comporta como una frecuencia relativa, Pr(A) debe ser una proporción que se encuentre entre 0 y 1; Pr(A) = 0 si el evento A nunca ocurre, y Pr(A) = 1 si el evento A siempre ocurre. Cuanto más cercano sea Pr(A) a 1, es más probable es que A ocurra.
Por ejemplo, si se lanza al aire un dado balanceado de seis caras un número infinito de veces, se esperaría que la frecuencia relativa para cualesquiera de los seis valores, x = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, fuera 1/6. Sobra decir que sería muy lento, si no imposible, repetir un experimento un número infinito de veces. Por esta razón, hay métodos alternativos para calcular probabilidades que hacen uso del concepto de frecuencia relativa.

Una consecuencia importante de la definición de frecuencia relativa de una probabilidad involucra a eventos sencillos. Como los eventos sencillos son mutuamente excluyentes, sus probabilidades deben satisfacer dos condiciones:

REQUISITOS PARA PROBABILIDADES DE UN EVENTO SIMPLE

• Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.

• La suma de las probabilidades de todos los eventos sencillos en S es igual a 1.

Cuando es posible escribir los eventos sencillos asociados con un experimento y determinar sus probabilidades respectivas, podemos hallar la probabilidad de un evento A si sumamos las probabilidades de todos los eventos sencillos contenidos en el evento A.

Definición: La probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de los eventos sencillos contenidos en A.

Ejemplo: Lanza al aire dos monedas imparciales y registra el resultado. Encuentra la probabilidad de observar exactamente una cara en los dos tiros.

Solución: Para poner en una lista los eventos sencillos en el espacio muestral, se puede usar un diagrama de árbol como se muestra en la figura inferior. Las letras H y T significan que observaste una cara o una cruz, respectivamente, en un tiro en particular. Para asignar probabilidades a cada uno de los cuatro eventos sencillos, hay que recordar que las monedas son imparciales. Por tanto, cualquiera de los cuatro eventos sencillos es tan probable como cualquier otro. Como la suma de los cuatro eventos sencillos debe ser 1, cada uno debe tener una probabilidad Pr(Ei) = 1/4. Los eventos sencillos del espacio muestral se muestran en la tabla inferior, junto con sus probabilidades igualmente posibles. Para hallar Pr(A) = Pr(observar exactamente una cara), es necesario hallar todos los eventos sencillos que resulten en el evento A, es decir E2 y E3:

Ejemplo: Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de todos los de raza caucásica en Estados Unidos se publican como 0.41, 0.10, 0.04 y 0.45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de este origen étnico en la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?
Solución: Los cuatro eventos sencillos, A, B, AB y O no tienen probabilidades igualmente posibles. Sus probabilidades se encuentran usando el concepto de frecuencia relativa como Pr(A) = 0.41, Pr(B) = 0.10, Pr(AB) = 0.04 y Pr(O) = 0.45. El evento interés está formado por dos eventos sencillos, de modo que la Pr(la persona es tipo A o tipo B) = Pr(A) + Pr(AB) = 0.41 + 0.04 = 0.45.

Ejemplo: Un plato contiene un dulce amarillo y dos rojos. Cierras los ojos y escoges dos dulces, uno por uno y anota sus colores. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos dulces sean rojos?
Solución Como no se dan probabilidades, se debe hacer una lista de los eventos sencillos del espacio muestral. La selección de los dulces en dos etapas sugiere un diagrama de árbol, que se muestra en la figura de abajo. Hay dos dulces rojos en el plato, de modo que se pueden usar las letras R1, R2 y Y para indicar que se ha seleccionado el primero rojo, el segundo rojo o el dulce amarillo, respectivamente. Como cerraste los ojos cuando elegiste los dulces, las seis opciones deben ser igualmente probables y se les asigna la probabilidad 1/6. Si A es el evento de que ambos dulces sean rojos, entonces A = {R1R2, R2R1}.
Por tanto,